| 科目名 |
解析学序論II |
| クラス |
− |
| 授業の概要 |
本講義では解析学序論Ｉをふまえて多変数関数の微分積分である偏微分や重積分を学習する。厳密な定義を理解することはもちろん、偏微分や重積分の計算ができるだけでなく、偏微分の極値問題への応用や重積分を用いた体積の計算やその他の応用を理解し、数学的な考え方を身につけることが目的である。 |
| 授業の到達目標 |
・基本的なMaclaurin展開ができる。
・基本的な偏微分の計算ができる。
・極値問題、条件付き極値問題が解ける。
・基本的な重積分の計算ができる。
・積分順序の交換を用いて基本的な重積分の計算ができる。
・変数変換を用いて基本的な重積分の計算ができる。
・数学専門の文章を理解することができる。 |
| 授業計画 |
| 回 |
内容 |
| 1 | １次近似式、２次近似式 ／ 長方形上の重積分、上積分、下積分 |
| 2 | n次近似式、Taylorの定理、剰余項 ／ Darbouxの定理 |
| 3 | 級数の収束と発散 ／ 面積確定 |
| 4 | 正項級数、絶対収束 ／ 一般区域上の重積分 |
| 5 | べき級数、収束半径 ／ 線形性、|f|の可積分性 |
| 6 | Maclaurin展開、Taylor展開 ／ 累次積分、積分順序の交換 |
| 7 | 2変数関数とその連続性 ／ 広義重積分(1) |
| 8 | 偏微分可能性と偏導関数 ／ 広義重積分(2) |
| 9 | 接平面、全微分可能性 ／ 変数変換、Jacobian |
| 10 | 合成関数の微分、連鎖公式 ／ 一次変換、極座標変換 |
| 11 | 陰関数定理 ／ 確率密度関数の積分 |
| 12 | 極値問題とHessian ／ 体積（球の体積） |
| 13 | Lagrangeの未定乗数法、包絡線 ／ 曲面積（球の表面積） |
| 14 | 応用 ／ 応用 |
| 15 | まとめ |
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| テキスト・参考書及び自学自習についての情報 |
テキスト
・理工系の微分積分学、吹田 信之−新保 経彦 著、学術図書出版社、ISBN:978-4-87361-119-8 |
| 授業の形式 |
講義と演習 |
| 評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） |
偏微分（3限目）50点＋重積分（4限目）50点
50点の内訳は各担当教員による。各担当部分についてレポート提出などにより加点を行うことがある。 |
| 本授業に関する情報 |
断面積が計算できる場合の立体の体積は重積分を用いなくとも求めることができるが、一般的に重積分によって体積は求められる。その他、偏微分や重積分は様々な工学の諸問題に応用できる。その例が偏微分の極値問題への応用である。高等学校までに学習する微分積分の内容が工学を含めた実社会でどのように役立っているかについて知っておくことは、小・中学校教員志望の学生にとって大切である。 |
| その他 |
特記する事項無し |