科目情報

科目名 解析学序論I  クラス −  授業の概要 　本講義では解析学の基礎として実数の基本性質、極限の概念、連続関数などについて再確認し、1変数の微分と積分を学習する。高等学校では微分や積分の公式を用いて様々な計算ができるようになることを中心とした学習をしてきたが、本講義ではそれらの厳密な定義を理解することも重要な目的である。  授業の到達目標 ・ε−Ｎ論法、ε−δ論法を用いて極限の計算ができる。 ・上限、下限の計算ができる。 ・導関数の定義を用いて基本的な微分の計算ができる。 ・Riemann積分の定義を用いて基本的な定積分の計算ができる。 ・原始関数と不定積分の違いに注意し、定積分の公式の証明が理解できる。 ・円の面積、円周の長さの公式が導出できる。 ・n次近似式の意味が説明でき計算ができる。 ・各点収束と一様収束の違いが説明できる。  授業計画 回 内容 1 集合論、実数の基本性質（有界、上限及び下限、連続性の公理）  2 ε−Ｎ論法による数列の極限、Cauchy列  3 ε−δ論法による関数の極限と連続の定義、中間値の定理  4 指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数  5 導関数の定義、関数の連続性と微分可能性、合成関数の微分  6 平均値の定理、l'Hosptalの定理  7 関数の増減と極値問題  8 Riemann積分、Darbouxの定理、定積分に関する平均値の定理  9 原始関数と不定積分、微分積分学の基本定理  10 置換積分法、部分積分法  11 面積、回転体、曲線の長さ  12 広義積分  13 各点収束と一様収束、極限と微分積分の順序交換  14 関数の展開、1次近似、2次近似  15 Taylorの定理、まとめ    テキスト・参考書 　テキスト ・理工系の微分積分学、吹田 信之−新保 経彦 著、学術図書出版社、ISBN:978-4-87361-119-8 　参考書 ・新訂 微分積分I、新井 一道−碓氷 久 他 共著、大日本図書、ISBN:978-4-477-01650-4 ・微分積分 (共立講座 21世紀の数学)、黒田　成俊　著、共立出版、ISBN:978-4-320-01553-1  自学自習についての情報 　予習復習としてweb上に用意された自習シートを毎時間の講義の前に解き、講義の後に公開される解答例を参考に修正を行う。  授業の形式 　講義と演習、学習記録表の記入。  評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） 　試験100点（講義と演習、自習シートで取り扱った内容から60点以上出題）。ただし、学習記録表や自習シートの提出などにより最大で20点の加点を行うことがある。  その他 　解析学は極限操作によって新しい概念を獲得していく学問である。高等学校で学んできた極限の概念をε−Ｎ論法によって再構築し、これを元に微分積分学の基本定理を厳密に証明していく。よって、ε−Ｎ論法の理解は必要不可欠である。 　面積の概念をはっきりさせておくことは小学校からの様々な図形の面積指導で重要である。小学校第4学年では広さの概念、単位量がいくつ分という考え方から始まり、第6学年では円の面積について、近似という概念を感覚的に学ぶことで公式を学習する。Riemann積分の定義にも本質的に同じ視点が共有されており、強く関連しているので小・中学校教員志望の学生も知っておかなくてはならない内容である。 　数学において定義をはっきりさせておくことが非常に大切なこと、直感的に自明のように思える定理も丁寧に証明することに数学的に物事を捉える本質があること、数学の論理はきちんとした積み上げが必要なことを理解したい。ただし、その厳密さのなかにあっても事実を伝えるだけでなく、具体的なイメージを把握する過程にも重点を置く。 　この講義は2回生以上が対象である。