| 科目名 |
代数学特別講義 |
| クラス |
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| 授業の概要 |
この授業では、グレブナー基底を学習します。
グレブナー基底とは、多項式環のイデアルの生成系の中で、「良い」性質を持つもののことです。
多くの具体例を通して、グレブナー基底の基礎理論を理解することが、この授業の目標です。
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| 授業の到達目標 |
「単項式順序」や「割り算アルゴリズム」など、グレブナー基底の基礎理論を理解するためのキーワードを身につけていき、
最終的に、与えられたイデアルの生成系がグレブナー基底かどうかを判定する「Buchberger の判定法」を理解することを第一の目標とする。
さらに、非線形連立方程式のグレブナー基底を用いた解法など、グレブナー基底が実際にどのように応用されているかを知ることを、第二の目標とする。
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| 授業計画 |
| 回 |
内容 |
| 1 | 授業内容の説明、環とイデアルの復習 |
| 2 | 単項式の集合と Dickson の補題 |
| 3 | 多項式環のイデアル |
| 4 | 単項式順序とその例 |
| 5 | グレブナー基底の定義と例 |
| 6 | Hilbert の基底定理 |
| 7 | 割り算アルゴリズム |
| 8 | 極小グレブナー基底と被約グレブナー基底 |
| 9 | 中間試験 |
| 10 | Buchberger の判定法(1) - S 多項式と「簡約可能」であることの定義 - |
| 11 | Buchberger の判定法(2) - 判定法の具体的な中身 - |
| 12 | Buchberger のアルゴリズム |
| 13 | 消去定理とその応用(1) - ２つのイデアルの共通部分 - |
| 14 | 消去定理とその応用(2) - 連立方程式の解法 - |
| 15 | 総復習 |
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| テキスト・参考書 |
グレブナー基底に関する著書は、これまで数多く出版されています。
学生さんそれぞれにとって合う本、合わない本があると思いますので、テキストの指定はしません。
そのかわり、以下の著書を参考書として挙げておきます。
(1) JST CREST 日比チーム(編)、『グレブナー道場』第１章、共立出版、2011
(2) 竹村彰通他、『グレブナー教室 -計算代数統計への招待』第３章、共立出版、2015
(3) コックス、リトル、オシー著、大杉英史他訳、『グレブナー基底１』、丸善出版、2000
(4) コックス、リトル、オシー著、落合啓之他訳、『グレブナ基底と代数多様体入門』、シュプリンガーフェアラーク東京、2000
授業は、基本的には (1) の内容に沿って進めていきます。
(2) は、(1) の内容の解説です。
(3)、(4) は、演習問題およびグレブナー基底の応用が豊富に収録されている著作です。
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| 自学自習についての情報 |
グレブナー基底の基礎理論を理解するためには、自分で手を動かして計算したり考えてみたりすることが重要です。 |
| 授業の形式 |
適宜演習の時間を挟みながら進めていく予定です。 |
| 評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） |
中間試験(４０％)と期末試験(６０％)によって評価を行います。 |
| その他（授業アンケートのコメント含む） |
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