| 科目名 |
代数学特別講義 |
| クラス |
− |
| 授業の概要 |
この授業では、グレブナー基底を学習します。
グレブナー基底とは、多項式環のイデアルの生成系の中で、「良い」性質を持つもののことです。
統計学や暗号理論など、数学のいろいろな分野に応用できることが知られています。
多くの具体例を通して、グレブナー基底の基礎理論を理解することが、この授業の目標です。 |
| 授業の到達目標 |
「単項式順序」や「割り算アルゴリズム」など、グレブナー基底の基礎理論を理解するためのキーワードを身につけていき、
最終的に、与えられたイデアルの生成系がグレブナー基底かどうかを判定する「Buchberger の判定法」を理解することを第一の目標とします。
さらに、非線形連立方程式のグレブナー基底を用いた解法など、グレブナー基底が実際にどのように応用されているかを知ることを、第二の目標とします。 |
| 授業計画 |
※複数教員が担当する授業科目は、各教員が担当する回について分かるように明記してください。（この説明文は削除してください。）
| 回 |
内容 |
| 1 | 授業内容の説明、環とイデアルの定義 |
| 2 | 単項式の集合と Dickson の補題 |
| 3 | 多項式環のイデアル |
| 4 | 単項式順序とその例 |
| 5 | グレブナー基底の定義と例 |
| 6 | Hilbert の基底定理 |
| 7 | 割り算アルゴリズム |
| 8 | 極小グレブナー基底 |
| 9 | 被約グレブナー基底 |
| 10 | Buchberger の判定法(1) - S 多項式と「簡約可能」であることの定義 - |
| 11 | Buchberger の判定法(2) - 判定法の具体的な中身 - |
| 12 | Buchberger のアルゴリズム |
| 13 | グレブナー基底の応用(1) |
| 14 | グレブナー基底の応用(2) |
| 15 | グレブナー基底の応用(3) |
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| テキスト・参考書 |
グレブナー基底に関する著書は、これまで数多く出版されています。
学生さんそれぞれにとって合う本、合わない本があると思いますので、テキストの指定はしません。
そのかわり、以下の著書を参考書として挙げておきます。
(1) JST CREST 日比チーム(編)、『グレブナー道場』第１章、共立出版、2011
(2) 竹村彰通他、『グレブナー教室 -計算代数統計への招待』第３章、共立出版、2015
(3) コックス、リトル、オシー著、大杉英史他訳、『グレブナー基底１』、丸善出版、2000
(4) コックス、リトル、オシー著、落合啓之他訳、『グレブナ基底と代数多様体入門』、シュプリンガーフェアラーク東京、2000
授業は、基本的には (1) の内容に沿って進めていきます。
(2) は、(1) の内容の解説です。
(3)、(4) は、演習問題およびグレブナー基底の応用が豊富に収録されている著作です。 |
| 自学自習についての情報 |
グレブナー基底の基礎理論を理解するためには、自分で手を動かして計算したり考えてみたりすることが重要です。 |
| 授業の形式 |
適宜講義のレジュメを配布します。
適宜演習の時間を挟みながら講義を進めていく予定です。
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| アクティブラーニングに関する情報 |
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| 評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） |
２回のレポートで判定します。
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| その他（授業アンケートのコメント含む） |
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