| 科目名 |
代数学特論II |
| クラス |
− |
| 授業の概要 |
完備局所環の構造定理とその応用を群，環，体の定義から始め，解説する．
(１) 群，環，体の定義と例 (２) 可換環のイデアルの定義と例 (３) ネーター環の定義と例 (４) ヒルベルトの基底定理
(５) 局所化と局所環 (６) イデアルによる位相 (７) コーシー列，完備空間 (８) 完備化 (９) Henselの補題
(10) 完備局所環の構造定理 (11) 構造定理の応用 |
| 授業の到達目標 |
完備局所環の構造定理を理解し，
構造定理のネーター環論の重要な問題への応用についても，納得する． |
| 授業計画 |
| 回 |
内容 |
| 1 | (１) 群，環，体の定義と例，(２) 可換環のイデアルの定義と例 |
| 2 | (１) ネーター環の定義と例，(２) ヒルベルトの基底定理 |
| 3 | (１) 局所化と局所環，(２) イデアルによる位相 |
| 4 | (１) コーシー列と完備空間，(２) 完備化 |
| 5 | Henselの補題 |
| 6 | 完備局所環の構造定理１（標数0の体を含む場合） |
| 7 | 完備局所環の構造定理２（標数p > 0の体を含む場合） |
| 8 | 完備局所環の構造定理３（不等標数の場合） |
| 9 | 構造定理の応用１（Jacobian判定法） |
| 10 | 構造定理の応用２（Bertiniの定理） |
| 11 | 構造定理の応用３（ネーター整域の整閉包） |
| 12 | 構造定理の応用４（Nagata環） |
| 13 | 構造定理の応用５（Excellent環） |
| 14 | 構造定理の応用６（Big Cohen-Macaulay加群） |
| 15 | まとめ |
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| テキスト・参考書 |
[テキスト] 永田雅宜：可換体論（裳華房）
[参考書] D. C. Northcott：Ideal Theory (Cambridge University Press), H. Matsumura : Commutative ring theory (Cambridge University Press) 他 |
| 自学自習についての情報 |
講義を聞き，可換代数学の基礎について学び，テキスト・参考書により，講義内容を予習・復習し，理解する．
事前・事後学習を含む普段（不断）の自学自習を推奨する． |
| 授業の形式 |
講義 |
| アクティブラーニングに関する情報 |
講義中，講義内容について，質問を含め，積極的な参加・ディスカッションを期待する． |
| 評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） |
講義への参加・ディスカッション・レポートにより評価する．
講義への参加・ディスカッション=65%，レポート=35%の目安で，総合的に判断する． |
| その他（授業アンケートのコメント含む） |
大学院生を対象とした授業科目である |