| 科目名 |
代数学特別講義 |
| クラス |
− |
| 授業の概要 |
この授業では，グレブナー基底を学習します．
グレブナー基底とは，多項式環のイデアルの生成系の中で，「良い」性質を持つもののことです．
代数学・代数幾何学のみならず，統計学や暗号理論など，数学のいろいろな分野に応用できることが知られています．
多項式の項順序・除法を用い，多項式環のイデアルについて理解するとともに，コンピュータによる計算も行います． |
| 授業の到達目標 |
「単項式順序」や「割り算アルゴリズム」など，グレブナー基底の基礎理論を理解するためのキーワードを身につけ，与えられたイデアルの生成系がグレブナー基底かどうかを判定する「Buchberger判定法」を理解することを第一の目標とします．
さらに、可換代数学と代数幾何学の基礎を学び，コンピュータによる具体的な計算も行い，グレブナー基底がどのように応用されるかを知ることを，第二の目標とします． |
| 授業計画 |
※複数教員が担当する授業科目は、各教員が担当する回について分かるように明記してください。（この説明文は削除してください。）
| 回 |
内容 |
| 1 | 授業内容の説明．群・環・体とベクトル空間の定義 |
| 2 | 有理整数環．ユークリッド互除法 |
| 3 | 1変数多項式環 |
| 4 | n変数多項式環 |
| 5 | 可換環のイデアル．イデアルの生成系．昇鎖条件 |
| 6 | 項順序．Diksonの補題 |
| 7 | 多項式の除法．割り算アルゴリズム |
| 8 | グレブナー基底1：定義．Hilbertの基底定理 |
| 9 | グレブナー基底2：基本性質 |
| 10 | S-多項式．Buchbergerの判定法 |
| 11 | グレブナー基底3：Buchbergerのアルゴリズム．簡約グレブナー基底 |
| 12 | グレブナー基底の応用1：イデアルの所属・比較問題 |
| 13 | 素元分解環・終結式 |
| 14 | グレブナー基底の応用2：消去法 |
| 15 | グレブナー基底の応用3：消去イデアルの応用 |
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| テキスト・参考書 |
グレブナー基底に関する著書は，数多く出版されています．
それぞれにとって合う本，合わない本があると思いますので，テキストは指定しません．
以下の著書を参考書として挙げておきます．
(１) コックス，リトル，オシー著，落合啓之他訳『グレブナ基底と代数多様体入門 （上）,（下）』，シュプリンガーフェアラーク東京，2004
(２) コックス，リトル，オシー著，大杉英史他訳『グレブナー基底1，2』，丸善出版，2000
(３) 日比孝之著『グレブナー基底』，朝倉書店，2003
(４) 丸山正樹著『グレブナー基底とその応用』，共立出版，2002
授業は，基本的に(１) の内容に沿って進めていきます.
(１)，(２) は演習問題およびグレブナー基底の応用が豊富に収録されている著作です．
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| 自学自習についての情報 |
グレブナー基底の基礎を理解するためには，自分で手を動かして計算したり考えてみたりすることが重要です． |
| 授業の形式 |
講義のレジュメ・小問・課題のプリントを配布します．
演習の時間を適宜挟みながら，講義を進めていく予定です．
授業への積極的な参加も評価します． |
| アクティブラーニングに関する情報 |
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| 評価の方法（評価の配点比率と評価の要点） |
課題演習およびレポートで判定します． |
| その他（授業アンケートへのコメント含む） |
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| 担当講師についての情報（実務経験） |
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